unidad 2
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO
UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERA
UNIDAD DE APRENDIZAJE: MÉTODOS NUMÉRICOS
TEMA :
BLOGGER DE COMPETENCIA # 2
NOMBRE DEL FACILITADARA:
LORENA ALONSO GUZMÁN
ALUMNO:
LAUREANO LOPEZ ALVARO FERMIN
TURNO: MATUTINO GRUPO: 401
MATRICULA : 13417747
Unidad 2
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
ÍNDICE DE CONTENIDO
Contenido
1. Introducción
2. Sistema de ecuaciones no lineales
2.1. Métodos cerrados
2.2. Métodos abiertos
3. Métodos iterativos
3.1. Raíces de funciones
4. Método del punto fijo
4.1. Método de interacción del punto fijo
4.2. Descripción del método
4.3. Algoritmo para iteración de punto fijo
5. Método de newton-Raphson
5.1 Procedimiento del método de newton
6. Método de la secante
7. Método de la bisección
8. Método del gradiente
9. Algoritmo
10. Conclusión
11. Bibliografía
INTRODUCCIÓN
en este blok les voy ablar de las ecuaciones no lineales y como se desarrollan los métodos serados Las características de los métodos numéricos están directamente atadas al número con el cual fueron identificado.
Los métodos numéricos pueden clasificarse de diferentes tipos, de acuerdo a diversos conceptos como el tipo de materias utilizado, en las matemáticas, el sistema de ecuaciones no lineales predominante a operaciones utilizado, el uso de métodos, la ubicación de reducción por el método de Gauss.
Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución. también Es recomendable dibujar las ecuaciones del sistema en la medida de lo posible para hacerse una idea aproximada de la situación de las soluciones.
2. Sistema de ecuaciones no lineales
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan
Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.
Una ecuación no lineal la representaremos genéricamente en la forma f(x) = 0. Observe que lo anterior no quiere decir que la función f(x) sea la función idénticamente nula. Simplemente es una forma de representar la ecuación a la que nos enfrentemos. Más concretamente tras la expresión f(x) = 0.
A los valores x* para los que la función f(x) se anula habitualmente se les denomina raíces (o ceros) de la función. En general si f(x) admite el valor x* como raíz, se podrá encontrar un número positivo m y una función.
2.1. Métodos cerrados
Este método encierra la función en un intervalo donde dicha función cambia de signo para tener una raíz dentro de este intervalo y luego empezar reducir por medios de algoritmos el tamaño del intervalo. se sabe que existe una sola raiz
2.2. Métodos abiertos
Se parte de una aproximación inicial y tienen un cierto radio de convergencia. Método del punto fijo, Método de Newton, Método de la secante.
3. MÉTODOS ITERATIVOS
Un método iterativo es un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un problema. En Matemáticas, en un método iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución´on aproximada: se espera que lo obtenido sea una solución mas aproximada que la inicial. El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el resultado mas reciente satisfaga ciertos requisitos. A diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los métodos iterativos se puede suspender el proceso al termino de una interacion y se obtiene una aproximación a la solución. y también debemos considerar
Métodos iterativos:
1) Inicio
2) Aproximación inicial
3) Formula de actualización
4) Converge
5) Fin
3.1. Raíces de funciones
Las raíces de una función y=f(x) son los valores x en los cuales f(x) se hace 0. En algunos casos, la función f tiene una forma tal que el problema se puede resolver algebraicamente. Es el caso de los polinomios de grado 2, e incluso los polinomios de grado 3 y 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos, el problema sólo tiene solución numérica.
Esto significa que hay que usar el computador para encontrar los valores numéricos de las raíces. No es posible, encontrar una fórmula algebraica que entregue las soluciones.
A continuación veremos un programa en Java que permite resolver numéricamente el problema de la búsqueda de las raíces de una función cualquiera. Para precisar aún más el problema la función f será un polinomio de grado 5 (pero podría reemplazarse por cualquier otra función continua):
4. Método del punto fijo
El método del punto fijo es un método interactivo que permite resolver sistema de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma , siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia
En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
Consiste en obtener una raíz, o solución, de una ecuación de la forma f(x) = 0, la misma que debe ser transformada en una ecuación equivalente de punto fijo g(x), de tal forma que al reordena la ecuación f(x)=0, “x” se ubique al lado izquierdo de la ecuación de manera que se defina: x= g(x).
4.1. Método de interacción del punto fijo
El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma
Ejemplo 4.5 Calcula la solución de
x = cos(x)
con 4 decimales usando una formulación de punto fijo del tipo
x = x − λ f(x).
Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 19
A partir de un esquema gráfico, tomamos el intervalo [0, 1].
Escribimos la ecuación en la forma f(x)=0 con
f(x) = x − cos(x).
Calculamos
f(0) = −1, f(1) = 0. 45970.
Por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo [0, 1]. Estimamos
el valor de f0
(α)
f0
(α) '
f(1) − f(0)
1 − 0
= 1. 45970,
y calculamos λ
λ = 1
f0
(α) '
1
1. 45970 = 0. 6851.
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,
½ x0 = 0.5,
xj+1 = xj − 0.6851 (xj − cos (xj )).
Obtenemos
j xj
0 0.5
1 0. 758681
2 0. 736115
3 0. 739518
4 0. 739021
5 0. 739094
6 0. 739083
7 0. 73908 3
Podemos tomar
α¯ = 0.7391 ¤
4.2. Descripción del método
El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación f(x)=0 en la forma x=g(x)}.
Llamemos x^ a la raíz de f. Supongamos que existe y es conocida la función g tal que: f(x)=x-g(x)} del dominio.
Procedimiento
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial x, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que converja, la derivada (dg/dx)} (dg/dx)} debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad.
4.3. Algoritmo para iteración de punto fijo
En general métodos iterativos consisten en
1. Obtener una aproximación inicial x0
2. Refinar la aproximación inicial mediante una fórmula iterativa que
genera nuevos valores x1, x2, …, que, idealmente, convergerán a la
solución buscada x*
.
3. Establecer un criterio de parada o test de finalización, satisfecho el
cual, se detiene el proceso de obtención de iterados.
xk se llama iterado k – esimo y el error de esta aproximación viene
determinado por
εk=│xk-x
*│
4.- El lector debe estar al tanto de las denominadas normas de vectores y matrices puesto que el problema que en una variable se soluciona con el valor absoluto debe ser tratado mediante normas en espacios vectoriales de n dimensiones para vectores y matrices.
5.- Estas normas, que usualmente se representan mediante donde las dobles barras indican norma, el símbolo ° indica el nombre del vector o la matriz y el subíndice ∗ la norma específica que se utiliza en el momento.
6.- Se recuerda que se denomina norma sobre Rn a toda aplicación definida en Rn.
5. Método de newton-Raphson
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.
Sea f: [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n
Donde f ' denota la derivada de f.
Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etcétera.
5.1 Procedimiento del método de newton
Sea un cero de la función , es decir . El método de Newton- Raphson consiste en obtener (mediante un procedimiento en concreto que detallamos a continuación) una sucesión de puntos que converja hacia . Para poder utilizar este método hemos de suponer que la función es derivable en un entorno de como veremos más adelante.
Para obtener la sucesión , partimos de un valor inicial que esté suficientemente cercano a . El siguiente punto de la sucesión se construye como la intersección de la recta tangente a la función en el punto de abscisa con el eje de abscisas, es decir la intersección de las rectas y . De esta forma tenemos que . El siguiente punto se obtendría trazando la recta tangente a en el punto de abscisa x 1
Es claro que, dependiendo de cual sea el punto inicial , la iteración de Newton-Raphson no tiene por qué converjer hacia la solución buscada . Puede ocurrir que la sucesión diverja, es decir, . También es posible que la sucesión converja hacia un cero de distinto de , es decir,
Incluso es posible la más exótica situación en la que la sucesión sea periódica: existen dos número con tal que . Todas estas posibilidades en las cuales son indeseables y el siguiente teorema asegura bajo qué condiciones no currirán.
Teorema 1 (Condición suficiente de convergencia). Sea con tal que y son funciones de signo constante en el intervalo . Entonces, tomando el punto inicial que verifique se asegura la convergencia de la sucesión de Newton-Raphson hacia la única raíz de en .
6. Método de la secante
el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.
Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.
En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.
7. Método de la bisección
n matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.
rimera iteración del algoritmo:
Segunda iteración del algoritmo:
El método de la bisección se requieren dos valores iniciales para ambos lados de la raíz, y que sus valores funcionales correspondientes sean de signos opuestos. En este caso, el valor de xM se obtiene como el punto medio entre x1y xD.
Xm = (x1+xD)/2
8. Método del gradiente
el método del gradiente es conceptualmente simple. Para mejor apreciar esa simplicidad supóngase una superficie modular como la mencionada en párrafo nnn precedente correspondiente a la determinación de las raíces, reales o complejas, de un polinomio.
9. Algoritmo
El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma , siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
10. Conclusión
en la unidad 2 nos dimos cuenta o concluimos que en las ecuaciones no lineales existe varios metodos o aproximado entre sí tenemos en cuenta el error en un número y las cifras significativas a partir de este conocimiento podemos desarrollar e implementar ecuaciones . Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora. y te dan los resultados exacto para asi podrer tener um mayor presicion.
11. Bibliografía
apuntes en clases y tareas
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